Хаджи Первый Гирей

Всё достаточно просто. Во время Ивана III Крым и Москва были союзниками против общих врагов Большой Орды (официального наследника Золотой Орды) и Польско-литовского государства, которые, кстати, тоже были союзниками между собой.
Правда, до этого Польша была дружна с Крымом, но король Казимир решил поменять приоритеты.
Фактически Иван III формально поменял сюзерена с хана Большой Орды на хана Крыма, тот в ответ освободил Москву от дани и признавал в официальных документах царя равноправным союзником.
При этом Крым был достаточно уязвим для нападения с севера, т.к. кочевые племена Дикого поля подчинялись Большой Орде. Москва в то время часто помогала войсками Бахчисараю, сама получала в ответ набеги на польско-литовские земли как раз в периоды обострения отношений с Варшавой.
После разгрома Большой Орды основным наследником бывших монгольских земель стал Крым, Москва, так же претендующая на это, начала ему мешать. Захват Казани и Астрахани шёл в разрез интересов Крыма, который сам претендовал на эти территории. Ну и кроме того примерно в это время Крым был захвачен турками, которые проводили последовательную политику подчинения христианских земель. Всё это вместе поставило Крымское ханство на позицию вражды с Москвой и Польско-литовским государством.
-----
"Сколько людей, столько и мнений". Теренций

Я тоже так думал. Какому ханству Русь платила дань? Кажется,Астраханскому.Значит ли это, что астраханское ханство было могущественнее Крымского?
(Добавление)
и распалась ли Золотая орда? Ведь история говорит о том, что Хаджи Первый Гирей основал Крымское ханство. В Астрахани орда стояла. В Казани стояла.. А в Крыму?
(Добавление)
Нашёл предысторию...Первые походы монгол в Крым относятся к 1223 и 1239 годам. Вскоре после этих походов весь степной и предгорный Крым стал владением Улуса Джучи, известного как Золотая Орда.

В ордынский период верховными правителями Крыма были ханы Золотой Орды, но непосредственное управление осуществляли их наместники эмиры. Первым формально признанным властителем в Крыму считается Оран-Тимур, племянник Батыя, получивший эту область от Менгу-Тимура. Главным городом Крымского Юрта был город Кырым (современный Старый Крым), известный также как Солхат. Это имя затем распространилось постепенно и на весь полуостров. Вторым центром Крыма стала долина, примыкающая к Кырк-Еру и Бахчисараю.

Многонациональное население Крыма тогда состояло в основном из кыпчаков, государство которых было разгромлено монголами, обитавших в степной и предгорной части Крыма, греков, готов, аланов и армян, живших в основном в городах и горных селениях. Крымская знать была в основном смешанного кыпчакско-ордынского происхождения.

Ордынское правление, хотя и имело положительные стороны, в целом было тягостно для крымского населения. В частности правители Золотой Орды неоднократно устраивали карательные походы в Крым, когда местное население отказывалось выплачивать дань. Известен поход Ногая в 1299 году, в результате которого пострадал ряд крымских городов. Поэтому сепаратистские тенденции стали проявляться уже вскорости после установления ордынской власти.

В XIV веке Крым также подвергся разорению армией Великого княжества Литовского. Великий князь Литовский Ольгерд, союзник хана Ахмата, разбил крымскотатарское войско в 1363 году близ устья Днепра, вторгся в Крым, опустошил Херсонес и захватил здесь все ценные церковные предметы. Преемник его Витовт в 1397 году пошёл на Крым, дошел до Каффы, разрушил Херсонес и увёл в Великое княжество Литовское значительное количество татар и караимов, потомки которых живут теперь в Литве и Гродненской области Белоруссии. В 1399 году он был разбит эмиром Тимур-Кутлуком на берегах Ворсклы и заключил мир с Эдигеем.